1.
Fungsi-fungsi
Logika Predikat
Logika predikat diperkenalkan oleh Sir William
Hamilton (1788-1856) dengan doktrinnya dinamakan “Quantification Theory”. Oleh
karena itu, logika predikat sebenarnya adalah logika proposisional yang
ditambah dengan hal-hal baru, yaitu pengkuantoran.
Logika adalah pada pembuktian validitas suatu argument
logika proposional dengan berbagai teknik yang relevan. Yaitu menggunakan table
kebenaran sebagai dasar pembuktian dan dan juga menggunakan hukum-hukum logika.
Logika proposisional sudah cukup untuk menangani pernyataan-pernyataan yang
sederhana dan banyak dijumpai dalam peristiwa sehari-hari. Akan tetapi logika
proposisional saja ternyata belum mampu menangani argumen-argumen yang berisi
pernyataan-pernyataan yang rumit dan sering dijumpai dalam peristiwa
sehari-hari. Sebagai contoh, perhatikan argumen berikut:
Contoh 1:
1)
Semua gajah
mempunyai belaka
2)
Dumbo seekor gajah
3)
Dengan demikian,
Dumbo memiliki belalai.
Tanpa perlu dibuktikan
validitasnya, orang-orang pasti mengatakan argumen tersebut valid karena dengan
jelas kesimpulan mengikuti premis-premisnya. Akan tetapi bagaimana cara
membuktikannya? Tentunya menggunakan logika proposisional.
ARGUMEN PADA
LOGIKA PREDIKAT
Validitas sebuah
argumen dapat dibuktikan dengan contoh yang mirip dengan contoh perhatikan
contoh argumen berikut:
Contoh 2:
1)
Semua mahasiswa
pasti pandai
2)
Badu seorang
mahasiswa
3)
Dengan demikian,
Badu pandai
Secara nalar,
kebanyakkan orang akan menilai bahwa argumen di atas mempunyai validitas yang
kuat. Akan tetapi, saat validitas tersebut ingin dibuktikan dengan logika
proposisional, ternyata tidak bisa diselesaikan. Pembuktiannya dapat dilakukan
dengan mengikuti prosedur logika proposisional dengan menentukan terlebih
dahulu proposisi-proposisinya :
A = Semua
mahasiswa pasti pandai
B = Badu seorang
mahasiswa
C = Badu pasti
pandai
Selanjutnya akan
menjadi seperti berikut :
A
B
_____
:. C
Dalam ekspresi
logika : (A ˄ B)=>C
Dalam bentuk
ekspresi logika diatas, tidak ada hukum-hukum logika proposisional yang dapat
digunakan untuk membuktikan validitas
argumen tersebut karena tidak ada yang mampu menghubungkan antara ketiga
proposisi yang digunakan diatas. Atau tidak mungkin suatu kesimpulan yang
berbeda dapat dihasilkan dari
premis-premis yang berbeda. Dengan kata lain, tidak mungkin suatu kesimpulan
berupa C dapat dihasilkan dari premis A dan premis B.
Jika argumen
diatas masih ingin dibuktikan dengan logika proposisional, maka kalimatnya harus
diperbaiki. Misal seperti berikut:
Contoh 3:
1)
Jika Badu seorang
mahasiswa, maka ia pasti pandai
2)
Badu seorang
mahasiswa
3)
Dengan demikian,
ia pasti pandai
Jika diubah dalam
bentuk ekspresi logika :
1)
B=>C premis 1
2)
B premis 2
3)
C kesimpulan
Atau dapat juga
ditulis : [(B=>C) ˄ B] => C
Dalam logika proposisional, ekspresi logika diatas
sudah benar karena kesimpulan diambil dari premispremis. Persoalan yang terjadi
adalah pernyataan tersebut tidak sepenuhnya mampu menangkap ide pada argumen
yang pertama yaitu “Semua mahasiswa pandai”. Ide pada pernyataan tersebut tidak
tertangkap pada argumen kedua karena hanya mampu menunjuk seorang mahasiswa
yaitu Badu, bukan semua mahasiswa. Persoalan lain juga terjadi, yakni kesulitan
menentukan objek. Misalnya orang yang dimaksudkan jika diganti dengan kata
ganti orang.
2.
Logika dan Set
Order Pertama
Logika First-Order
digunakan dalam ilmu IntelejensiBuatan sebagai Representasi Pengetahuan.
Persolan yang ada memiliki pernyataanlebih kompleks lagi tapi dapat
diselesaikan dengan Pelacakan Terbalik(Backward)
Contoh:
Diberikanpernyataan
sebagai berikut:
1)
Andi adalah
seorang mahasiswa
2)
Andi masuk jurusan
Informatika
3)
Setiap mahasiswa
Informatikapasti mahasiswa Teknik
4)
Kalkulus adalah
matakuliah yangsulit
5)
Setiap mahasiswa
teknik pastiakan suka kalkulus atau akan membencinya
6)
Setiap mahasiswa
pasti akansuka terhadap suatu matakuliah
7)
Mahasiswa yang
tidak pernahhadir pada kuliah matakuliah sulit, maka mereka pasti tidak suka
terhadapmatakuliah tersebut
8)
Andi tidak pernah
hadir kuliahmatakuliah kalkulus.
Buktikan Apakah
Andi suka matakuliah kalkulus?
Jawab:
Ubah pernyataan
menjadi bentuk formula:
1)
mahasiswa(Andi)
2)
Informatika(Andi)
3)
x:
Informatika(x)Teknik(x)
4)
sulit(kalkulus)
5)
x:
Teknik(x)suka(x, kalkulus) benci(x,
kalkulus)
6)
x: y: suka(x,y)
7)
x: y:
mahasiswa(x)sulit(y)hadir(x,y) suka(x,y)
8)
hadir(Andi,kalkulus)
Pernyataan Apakah
Andi suka matakuliah kalkulus = suka(Andi,kalkulus)
Dilakukan Backward
/Pelacakan dari belakang seperti yang biasa diterapkan pada ilmu
ArtificialIntelegence atau Intelejensi Buatan dengan cara berikut:
suka(Andi,kalkulus)
Substitusi
mahasiswa(Andi)
sulit(kalkulus)
hadir(Andi,kalkulus)
3.
Quantifier
Universal
Dalam logika
predikat , quantifieri universal merupakan jenis quantifier , sebuah konstanta
logis yang ditafsirkan sebagai “diberi” atau “untuk semua”. Ini mengungkapkan
bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh setiapanggota dari domain wacana.
Dalam istilah lain, itu adalah predikasi dari properti atau hubungan dengan
setiap anggota domain. Ini menegaskanbahwa predikat dalam lingkup dari
quantifier universal benar dari setiap nilai dari variabel predikat .
Hal ini biasanya
dilambangkan dengan berbalik A (∀)
operator logika simbol, yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel
predikat, disebut quantifier universal (“∀x”, “∀ (x)”, atau kadang-kadang
dengan “(x) “saja). Kuantifikasi Universal berbeda dari kuantifikasi
eksistensial (“ada ada”), yang menegaskan bahwa properti atau relasi hanya
berlaku untuk setidaknya satu anggota dari domain.
Contoh 1 :
(∀x) (x + x = 2x)
“untuk setiap x
(dimana x adalah suatu bilangan), kalimat x + x = 2x adalah benar.”
Contoh 2 :
(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> x adalah
binatang).
Kebalikan kalimat
“bukan kucing adalah binatang” ditulis :
(∀x) (p) (Jika x adalah seekor kucing -> ~x adalah
binatang)
dan dibaca :
– “setiap kucing
adalah bukan binatang”
“semua kucing
adalah bukan binantang”
Contoh 3:
(∀x) (Jika x adalah segitiga -> x adalah polygon)
Dibaca : “untuk
semua x, jika x adalah segitiga, maka x adalah polygon”.
Dapat pula ditulis
: (∀x) (segitiga(x) -> polygon(x))
(∀x) (T(x) -> P(x))
Contoh 4 :
(∀x) (H(x) -> M(x))
Dibaca : “untuk
semua x, jika x adalah manusia (human), maka x melahirkan (mortal)”.
Ditulis dalam
aturan : IF x adalah manusia THEN x melahirkan.
4.
Quantifier
Existensial
Dalam logika
predikat , suatu quantifier eksistensial adalah jenis quantifier , sebuah
konstanta logis yang ditafsirkan sebagai “ada ada,” “ada setidaknya satu,” atau
“untuk beberapa.” Ini mengungkapkan bahwa fungsi proposisi dapat dipenuhi oleh
setidaknya satu anggota dari domain wacana . Dalam istilah lain, itu adalah
predikasi dari properti atau hubungan dengan setidaknya satu anggota dari
domain. Ini menegaskan bahwa predikat dalamlingkup dari quantifier eksistensial
adalah benar dari setidaknya satu nilai darivariabel predikat .
Hal ini biasanya
dilambangkan dengan E berubah (∃) operator logika simbol,
yang bila digunakan bersama-sama dengan variabel predikat, disebut quantifier
eksistensial (“∃x” atau “∃
(x)”) Kuantifikasi eksistensial.
Contoh 1 :
(∃x) (x . x = 1)
Dibaca : “terdapat
x yang bila dikalikan dengan dirinya sendiri hasilnya sama dengan 1.”
Contoh 2 :
(∃x) (gajah(x) ∧
nama(Clyde))
Dibaca : “beberapa
gajah bernama Clyde”.
Contoh 3 :
(∀x) (gajah(x) -> berkaki empat(x))
Dibaca : “semua
gajah berkaki empat”.
Universal
quantifier dapat diekspresikan sebagai konjungsi.
(∃x) (gajah(x) ∧
berkaki tiga(x))
Dibaca : “ada
gajah yang berkaki tiga”
Existensial
quantifier dapat diekspresikan sebagai disjungsi dari
urutan ai. P(a1) ∨ P(a2) ∨
P(a3) …∨ P(aN)
5.
Resolusi Logika
Predikat
Tujuan dasar resolusi adalah membuat infer klausa baru
yang disebut “revolvent” dari dua klausa lain yang disebut parent
clause.
Contoh :
A Ú B
A Ú ~B
\ A
Premis dapat ditulis : (A Ú B) Ù (A Ú ~B)
Ingat Aksioma Distribusi :
p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú q)
Sehingga premis di atas dapat ditulis :
(A Ú B) Ù (A Ú ~B) º A Ú (B Ù ~B) º A
dimana B Ù ~B selalu bernilai salah
Tabel Klausa
dan Resolvent
|
Parent Clause
|
Resolvent
|
Arti
|
|
p à q , p
atau
~p Ú q, p
|
Q
|
Modus Pones
|
|
p à q , q à r
atau
~p Ú q, ~ q Ú r
|
p à r atau
~p Ú r
|
Chaining atau Silogisme Hipotesis
|
|
~p Ú q, p Ú q
|
Q
|
Penggabungan
|
|
~p Ú ~q, p Ú q
|
~p Ú p atau
~q Ú q
|
TRUE (tautology)
|
|
~p, p
|
Nill
|
FALSE (kontradiksi)
|
SISTEM RESOLUSI DAN DEDUKSI
Refutation adalah pembuktian teorema
dengan menunjukkan negasi atau pembuktian kontradiksi melalui reductio ad
absurdum.
Melakukan refute berarti membuktikan kesalahan.
Contoh :
A à B
B à C
C à D
A à D
Untuk membuktikan konklusi A à D
adalah suatu teorema melalui resolusi refutation, hal yang dilakukan :
p à q º
~p Ú q
sehingga
Aà D º
~A Ú D
dan langkah terakhir adalah melakukan negasi
~(~A Ú D) º A Ù ~D
Penggunaan konjungsi dari
disjunctive form pada premis dan negasi pada konsklusi, memberikan conjuctive
normal form yang cocok untuk resolusi refutation.
Dari contoh di atas, penulisannya menjadi :
(~A Ú B) Ù (~B Ú C) Ù (~C Ú D) Ù A Ù ~D
Akar bernilai nill, menunjukkan
kontradiksi. Sehingga melalui refutation dapat ditunjukkan konklusi asli (awal)
adalah teorema dengan peran kontradiksi.
RESOLUSI PADA PROPOSISI DAN PREDIKAT
1)
Resolusi pada Logika Proposisi
Menggunakan
resolusi yaitu suatu teknik pembuktian yang lebih efisien, sebab fakta-fakta
yang akan dioperasikan terlebih dahulu dibawa ke bentuk standar yang sering
disebut dengan nama klausa.Pembuktian suatu pernyataan menggunakan resolusi ini
dilakukan dengan cara menegasikan pernyataan tersebut, kemudian dicari
kontradiksinya dari pernyataan-pernyataan yang sudah ada.
Algoritma
konversi ke bentuk klausa :
a.
Eliminir a →
b menjadi ¬ a v b
b.
Reduksi
skope dari ¬ sebagai berikut :
¬ (¬ a ^ b) ¬ a v ¬ b
¬ (¬ a v b) ¬ a ^ ¬ b
¬ x : P(x) x : ¬ P(x)
¬ x : P(x) x : ¬ P(x)
2)
Resolusi pada Logika Predikat
Logika predikat sebenarnya adalah logika proposional
ditambah dengan hal-hal baru seperti kuantor, universe of discourse, term,
predikat dan fungsi.
Resolusi pada logika predikat pada dasarnya sama dengan resolusi pada
logika proposisi, hanya saja ditambah dengan unifikasi.Pada logika predikat,
prosedur untuk membuktikan pernyataan P dengan beberapa pernyataan F yang telah
diketahui, dengan menggunakan resolusi, dapat dilakukan melalui algoritma
sebagai berikut :
a.
Konversikan
semua proposisi F ke bentuk klausa
b.
Negasikan P,
dan konversikan hasil negasi tersebut ke bentuk klausa.Tambahkan
kehimpunan klausa yang telah ada pada langkah
c.
Kerjakan
hingga terjadi kontradiksi atau proses tidak mengalami kemajuan :
-
Seleksi 2
klausa sebagai klausa parent
-
Bandingkan
(resolve) secara bersama-sama. Klausa hasil resolve tersebut resolvent.
Jika ada pasangan literal T dan ¬T2 sedemikian hingga keduanya dapat dilakukan
unifikasi, maka salah satu T1 dan T2 disebut sebagai complementary literal.
Jika ada lebih dari 1 complementary literal, maka hanya sepasang yang dapat
meninggalkan resolvent
-
Jika
resolvent berupa klausa kosong, maka ditemukan kontradiksi. Jika tidak,
tambahkan ke himpunan klausa yang telah ada
Sumber :
0 komentar:
Posting Komentar